De andere kant met de blik op oneindig:

De natuurlijke groei-reeks van Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 en zo verder convergeert naar een verhouding van Φ = 1,61803398…. tussen de opeenvolgende getallen.

Phi Φ is een leuke verhouding, enigszins natuurlijk als gulden snede en nog wat meer namen.

De enigszins arbitraire start met het getal 0 en 1 voor de Fibonacci reeks en enkel en alleen positief geeft wat te denken, laten we eens kijken:

F(n) = F(n-1) + F(n-2), zouden we op 1 uit willen komen dan levert F(n-1) = Φ^-1 en F(n-2)  = Φ^-2 het gewenste resultaat op.

Voor de andere zijde van de Fibonacci reeks, de reeks die eindigt bij 1 in plaats van er mee te starten, vinden we dan snel de volgende reeks R:

Φ^-6, Φ^-5, Φ^-4, Φ^-3, Φ^-2, Φ^-1, Φ^-0 of wel 1

0,055 – 0,090 – 0,145 – 0,236 – 0,382 – 0,618 – 1,00 (beetje afrondingsverschil)

Waar de standaard Fibonacci reeks met reële getallen werkt en de verhouding tussen deze getallen convergeert naar phi, is deze reeks enkel gebouwd op irrationele getallen met als basis phi.

Een leuk iets om over na te denken, temeer deze reeks naar links convergeert naar 0 (nul), de Fibonacci reeks naar oneindig en de gemeenschappelijke punten 0 en 1 zijn. Kijken we naar de verhoudingen tussen R(n) en F(n) dan valt nog wat leuks op: als F(n) = R(n) x C = Φ^-n x C, dan convergeert C naar √5 / Φ.

Twee functies in een afhankelijkheid van elkaar én een onderlinge afhankelijkheid van één factor, phi, doet me al snel denken aan één functie, maar daar zit ‘m nou net de crux, dat is het niet, of…. hebben we nog iets anders nodig om de irrationele getallen te verbinden met de rationele?

De factor C bestaat uit √5 en Φ, Φ is te berekenen als (√5+1)/2, er bestaan net zoveel onderling verbonden resultaten tussen 0 en 1 voor reeks R en tussen 1 en oneindig voor reeks F.

Zou 1 het middelpunt van het rondje 0 kunnen zijn, of hebben we twee rondjes nodig ∞ ?